Stochastik I: Einführung in die Stochastik

Mal wieder muss ich mich dafür entschuldigen, dass meine Kolumne letzte Woche ohne Kommentar ausgefallen ist. Der Grund hierfür war, dass ich mich auf einer Klassenfahrt in London befand und dort keinen Internetzugang hatte. Ursprünglich wollte ich daher auch meinen Artikel vor Reiseantritt schreiben, damit ihn am Mittwoch jemand online stellen könnte - allerdings hatte ich dies nicht mehr geschafft und hoffte darauf, mit soul Kolumnentermine tauschen zu können, damit mein Artikel einfach am Freitag dann online kommen würde.

"Denn im Zug habe ich ja wohl ausreichend Zeit, Artikel zu schreiben!", so dachte ich mir, allerdings ist mein Wunsch, auf den jeweils neunstündigen Fahrten meine ganze Arbeit wegzubekommen, nicht so ernsthaft aufgegangen. Zunächst einmal fiel auf Grund der Untersuchungen der "ICE 3"-Züge unser ICE von Würzburg nach Köln aus, so dass wir zunächst mit einem Regionalexpress nach Frankfurt (Main) fahren mussten und von dort aus erst dann mit einem (überfüllten und alten) ICE weiter nach Köln. Das große Problem ist, dass mein Laptop-Akku nicht mehr gerade der Neueste ist und natürlich auch keine freie Steckdose vorhanden war, so dass ich ohnehin nicht länger als 30 Minuten oder so hätte schreiben können. Von Köln aus ging es dann mit einem reservierungspflichtigen, französischen Zug weiter in Richtung Brüssel. Dieser Zug hatte zwar W-Lan (für nur 13 € / h), aber keine Steckdosen. Guter Zug!

Und so ähnlich war das dann auch von Brüssel in Richtung London, Bahnhof St. Pancras International. Und auf der Rückfahrt selbstverständlich auch. Dennoch ich bin wieder gut und entspannt angekommen - wenn auch frustriert, denn ich bin praktisch seit dem Wochenende nur am Artikelschreiben.

Lange habe ich mir auch überlegt, worüber ich denn heute schreiben sollte. Die letzten Wochen war ich eher so auf dem Trip, Fehleinstellungen zu flamen, woraufhin Huy mich theoretisch unterstützte und ebenso einen Aufruf machte, "kreativer" zu werden. Da dieses Thema allerdings mittlerweile überall durchgekaut worden ist, werde ich heute demnach in eine neue Richtung gehen: Wahrscheinlichkeitsrechnung, auch "Stochastik" genannt. Viele von euch hören hier auf zu lesen, scrollen runter zu den Tops und Flops, und schreiben "guter Artikel" in den Diskussionsthread - denn es geht schließlich um Mathematik und das interessiert kaum jemanden hier. Jedoch ist die Stochastik gerade in Sammelkartenspielen wie Yu-Gi-Oh! ein besonders cooles Hilfsmittel. Warum, erkläre ich euch jetzt.

Für die meisten von euch ist es schon viel zu schwierig, ohne einen Taschenrechner nach einem Solemn Judgment die Hälfte von 3700 Lebenspunkten zu errechnen. Warum sollen wir also sogar noch einen Schritt weiter gehen und bei komplizierten mathematischen Rechnungen durchblicken, die nichtmal viele der Gymnasiasten wirklich verstehen?

Ganz einfach: Mit der Stochastik kann man grundsätzlich überall arbeiten. Zum Pokern zum Beispiel findet man im Internet unglaublich viele Artikel, wie man sich die Wahrscheinlichkeit einer guten Hand errechnen kann - und wie man diese Wahrscheinlichkeit mit dem Einsatz in Verbindung setzt.

Daher ist die Stochastik auch im Kartenspiel Yu-Gi-Oh! zu gebrauchen: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Karte X auf die Starthand zu ziehen, wenn ich sie 3-mal spiele?", "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 2-mal Karte X auf die Starthand zu ziehen, wenn ich sie 3-mal spiele?", "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Karte X und eine Karte Y auf die Starthand zu ziehen, wenn ich X 3-mal und Y 1-mal spiele?", "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, aus meinen noch 7 verbliebenen Karten genau Karte Y zu ziehen?"^[1], und so weiter. Dies alles sind Szenarien, wie sie YGO-Spieler wohl brennend interessieren würden, damit ein bisschen Skill ins Spiel käme!

Leider ist dieses Thema wirklich unglaublich schwierig zu verstehen, weshalb man es nicht innerhalb eines einzigen Artikels durcharbeiten könnte. Daher beginnen wir heute mit einer ausführlichen Einführung in die mathematische Wahrscheinlichkeitsrechnung!

Die "Fakultät" einer Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen { 1 ; 2 ; 3 ; ... } bis einschließlich zur Zahl n. Das mathematische Symbol für die Fakultät ist ein Ausrufezeichen.

Formel für die Fakultät:

n! = 1 * ... * (n - 1) * n

... , somit wäre beispielsweise die 4-Fakultät: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Die Fakultät kann man beispielsweise dafür gebrauchen, auf wie viele unterschiedliche Arten und Weisen unterscheidbare Gegenstände, zum Beispiel verschiedene Yu-Gi-Oh!-Karten, auf bestimmte Plätze verteilt werden können.

Beispiel:

Du mischst verdeckt deine drei verdeckten Handkarten Drillroid (D), Jetroid (J) und Gyroid (G). Dann willst du die drei Karten nebeneinander auf 3 leere Plätze verteilen:

Du beginnst mit dem linken Platz. Du hältst drei Karten in der Hand, daher gibt es für den linken Platz derzeit eine Auswahl aus 3 Optionen: D, J oder G. Wenn du nun eine der drei Handkarten dort hingelegt hast, bleiben dir für den zweiten Platz noch genau 2 Möglichkeiten, da du ja D, J oder G auf den linken Platz gelegt hast. Für das rechte Feld bleibt dann nur noch 1 Möglichkeit übrig.

..., somit hast du 3 * 2 * 1 Möglichkeiten, die Karten zufällig zu verteilen.

Dies entspräche der 3-Fakultät (3!).

Um dich ein wenig zu testen - und gleichzeitig das neue Spielzeug von uns Artikelschreibern auszuprobieren - habe ich ein kleines Quiz für dich vorbereitet. Hierzu klickst du einfach immer die Antwort an, die du für richtig hältst, und klickst am Ende des Artikels auf "Quiz auswerten". Dann kannst du sehen, wieviele Antworten du intuitiv richtig getippt hast!

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]1.) Dein Gegner wählt immer die mittlerste Karte zum Abwerfen aus. Wieviele Möglichkeiten hätte er also beim obigen Roid-Beispiel (die Karten werden so wie dort platziert)?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]1[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]2[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]3[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]2.) Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten kannst du deine 6 verschiedenen Handkarten mischen, wenn dein Gegner gerade Bodenklappfalle aktiviert?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]6[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]36[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]720[/umfrage_richtige_antwort][/umfrage_frage]

Reguläre (sechsseitige), ungezinkte Würfel werden "Laplace-Würfel"^[2] genannt. Da diese Würfel 6 Seiten besitzen und da man weiß, dass ein unmanipulierter Würfelwurf immer ein zufälliges Resultat bringt, ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu treffen, gleich 1/6.

Da man Würfelwürfe bekanntlich schlechter manipulieren kann als Münzwürfe, werden Effekte rund um "Kopf und Zahl" in den meisten Regionen durch einen Würfel entschieden. Da eine Münze nur zwei Seiten hat (Wahrscheinlichkeit je 1/2), muss man auch die Wahrscheinlichkeit mit dem Würfel anpassen und dort 3 Seiten für "Kopf" (meist "gerade Augenzahl") und 3 Seiten für "Zahl" (meist "ungerade Augenzahl") wählen, so dass die Wahrscheinlichkeit wieder jeweils 1/2 beträgt.

Wie dem auch sei - grundsätzlich kommen Wahrscheinlichkeiten dadurch zustande, wenn man die Anzahl der "helfenden" Optionen durch die Anzahl der Gesamtoptionen teilt. Gehen wir also auf das Beispiel des Snipe Hunter ein, wo wir bei einer Augenzahl von 2-5 eine helfende Option haben und bei 1 und 6 keine.

Teilen wir also die Anzahl der helfenden Optionen (4 Stück) durch die Anzahl der insgesamt vorhandenen Optionen (ein Würfel hat 6 Seiten, also 6 Stück), so erhalten wir den Bruch 4/6. Wie jeder Spieler wohl wissen wird, beträgt daher die Wahrscheinlichkeit, "richtig zu würfeln", 2/3 - was in etwa 67 Prozent entspricht.

Ein weiteres Beispiel wäre der Gambler of Legend. Hier gibt es unterschiedliche Effekte, die abhängig von der Anzahl an geworfenen "Kopf"/"Zahl" sind. Wird der Effekt des legendären Glücksspielers etwa unterschätzt, oder ist es gerechtfertigt, dass ihn noch nie jemand gespielt hat?

Wir betrachten die Möglichkeit, dass der Würfel nach einem Wurf eine gerade Augenzahl (G) und eine ungerade Augenzahl (U) offenbaren kann, wobei G "Kopf" entspricht und U "Zahl".

Nun gibt es in der Theorie wieder 3 leere Felder, auf die zufällig die Buchstaben G und U verteilt werden können - doch anders als im Roid-Beispiel können diese nun mehrmals vorkommen, was die Sache selbstverständlich komplizierter macht.

Es gibt folgende Ausgänge:

• GGG - 3x "Kopf", 0x "Zahl"

• GGU - 2x "Kopf", 1x "Zahl"

• GUG - 2x "Kopf", 1x "Zahl"

• UGG - 2x "Kopf", 1x "Zahl"

• GUU - 1x "Kopf", 2x "Zahl"

• UGU - 1x "Kopf", 2x "Zahl"

• UUG - 1x "Kopf", 2x "Zahl"

• UUU - 0x "Kopf", 3x "Zahl"

... , dies sind insgesamt 8 Gesamtoptionen. Die Anzahl der Gesamtoptionen ist in der Mathematik durch n^m definiert, wobei n der Anzahl der Möglichkeiten (hier 2: U, G) und m der Anzahl an Feldern (hier 3) entspricht.

Nun werden folgende vier Ereignisse des Effektes vom Gambler of Legend betrachtet:

• 3-mal Kopf,

• 2-mal Kopf,

• 1-mal Kopf,

• 3-mal Zahl (0-mal Kopf).

Für "3-mal Kopf" gibt es 1 Möglichkeit, nämlich GGG. Geteilt durch die 8 Gesamtoptionen erhalten wir hier also eine Wahrscheinlichkeit von 1/8, dass alle gegnerischen Monster zerstört werden.

Für "2-mal Kopf" gibt es 3 Möglichkeiten, GGU, GUG sowie UGG. Wenn man also diese 3 durch die 8 insgesamt vorhandenen Optionen teilt, so erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 3/8, dass eine gegnerische Handkarte flöten geht.

Für "1-mal Kopf" gibt es ebenso 3 Möglichkeiten (UUG, UGU, GUU), demnach wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/8 eine der eigenen Karten zerstört, und

für "0-mal Kopf" gibt es wiederum nur 1 Möglichkeit UUU, und diese setzt die Wahrscheinlichkeit, dass alle eigenen Handkarten abgeworfen werden, auch wieder auf 1/8.

Die Wahrscheinlichkeiten der positiven und negativen Effekte sind somit jeweils 4/8, gleichen sich also aus. Man müsste nun in der Praxis nur noch abwägen, wieviel Kartennachteil man bei "3-mal Zahl", und wieviel Kartenvorteil man bei "3-mal Kopf" machen würde.

Doch zurück zu unseren Würfeln. Beim Entscheiden, wer das Spiel beginnen darf, wirft jeder Spieler jeweils einen sechsseitigen Würfel. Falls es sich um Laplace-Würfel handelt, hat jeder Spieler die gleichen Chancen auf das Beginnen. Da zwei Würfel geworfen werden, betrachten wir diesmal 2 Felder, auf die die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 verteilt werden können:

Da es natürlich eine Rolle spielt, wo welche Zahl steht (schließlich entscheidet das ja darüber, wer beginnt), ist "1, 6" nicht das gleiche wie "6, 1". Dies ist anders als beim Gambler of Legend, wo "GGU", "GUG" und "UGG" zwar jeweils unterschiedlich sind, jedoch immer das gleiche ("2-mal Kopf") bewirken. Da das Vertauschen der Zahlen somit Einfluss hat, nennt man diese beiden Würfel in diesem Fall "unterscheidbar" - das ist so zu betrachten, als wenn einer rot und der andere blau wäre.

Die Gesamtzahl an herauskommenden Möglichkeiten lässt sich erneut über n^m errechnen. Wir haben n = 6 Zahlen, die gewürfelt werden können - und wir haben m = 2 Felder, auf die diese Zahlen verteilt werden können. Somit ergibt sich: 6² = 36 Gesamtoptionen.

Wenn man nun wissen möchte, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beide Spieler die gleiche Zahl würfeln, so überlegt man sich dies wie folgt:

Um beispielsweise eine 6 zu würfeln, hat man genau 1 Möglichkeit, dies zu bezwecken, nämlich indem man die 6 würfelt (gut, der Satz war recht banal). Der Gegner hat ebenso 1 Möglichkeit. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eine 6 würfeln, gleich .

Hat der Gegner bereits eine 1 gewürfelt, und man will wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man jetzt eine höhere Zahl wirft, so muss man nur noch den eigenen Wurf betrachten, und nicht mehr alle beide zusammen. Somit hat man eine Auswahl aus insgesamt 6¹ = 6 Möglichkeiten. Da alle Zahlen von 2-6 höher als die 1 sind und den Spieler somit "gewinnen" ließen, sind sie hier "helfende" Optionen. Man hat mit { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } also insgesamt 5 helfende Optionen, wodurch wir als Ergebnis 5/6 erhalten, was etwa 83% entspricht.

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]3.) Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn man drei unterscheidbare, sechsseitige Laplace-Würfel wirft?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]6[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]18[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]216[/umfrage_richtige_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]4.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, den Gegner zu überbieten, wenn dieser eine 4 gewürfelt hat?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_richtige_antwort]33,3 %[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]50,0 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]66,7 %[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]5.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit "trifft" Blowback Dragon?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]33,3 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]50,0 %[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]66,7 %[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

[klicktext]klicktext001|Quiz auswerten!|Quiz WIRKLICH auswerten?
(Übrigens ist dies eine weitere Artikelschreiber-Spielerei; der Klicktext)

[umfrage_auswertung_link]Ja!! -.-[/umfrage_auswertung_link]

[umfrage_auswertung_text][/klicktext]

Jo, richtig! SebastianEggers habe ich es nämlich zu verdanken, dass ich heute ein so lustiges Quiz in meinen Artikel einbauen konnte. Eventuell hat es euch ja auch gefallen - ist mal was anderes? Ich denke, dass dieses Skript Themen wie diese ein wenig intensivieren kann, so dass auch was für das nächste Turnier hängen bleibt. ;-)

Ein paar von euch waren sicherlich am Super Smash Bros. Brawl Turnier interessiert. Dieses ist mittlerweile gestartet und die Gruppenkämpfe laufen bereits. Zittern ist für Harti nun angesagt, denn er muss sein drittes Gruppenspiel nun gewinnen, um noch in die Tops zu kommen!

Und dies nur, weil Linh ihn mit einem Charakter abgezogen hat, der Hartis Marth eigentlich mit 80%iger Wahrscheinlichkeit unterlegen hätte sein sollen!

Absoluter Flop dieser Woche... dieses Rumgelucke. :-P

Greets,

Harti

^[1]: Gerüchten zufolge soll ja diese letzte Frage der Grund dafür sein, dass Michel immer so lange für seine Züge braucht. Aber nur Gerüchten zufolge!

^[2]: (Nein, das hab ich mir nicht so ausgedacht - sie wurden nach einem Mathematiker benannt. Eventuell wird den Begriff der ein oder andere irgendwann nochmal sehen und kann dann mit dem Wissen aus meiner Kolumne voll auftrumpfen!)