Stochastik II - 'Gewinne' und 'Nieten'

Ich habe mal wieder einen Moses gebaut und es somit erneut geschafft, mir mit meiner Idee, stochastische Überlegungen in eure Deckbau- und (gegebenenfalls auch) Spiel-Skills mit einzubringen, "Freunde" und "Feinde" zu schaffen. Ich bin mir gerade selbst nicht ganz sicher, ob aus Protest immer irgendjemand "Anti-Harti-Artikel" sein muss, oder ob das tatsächlich irgendeine Berechtigung hat.

Schließlich versuche ich hier Woche für Woche halbwegs interessante Themen auf den Tisch zu bringen, und ich habe es ziemlich satt, ständig nur geflamed zu werden, dass meine Idee wohl so ziemlich überhaupt nichts bringen würde. Glücklicherweise habe ich auf der anderen Seite wenigstens noch die Leute, die zumindest meine Überlegung nachvollziehen können, mich unterstützen, oder gar meine Meinung komplett vertreten.

Ironie des Schicksals war es auch, dass mich jemand gefragt hat, ob mir die Themen-Ideen ausgingen und ob ich mit der Aufteilung von Themen in mehrere Parts (Cheating: 4 Parts, jetzt Stochastik: ca. 3 Parts) irgendwie "Zeit gewinnen" wolle. Berechtigte Frage, allerdings würde ich hier eher ein "jein" antworten:

• Auf der einen Seite hätte ich freilich diese zwei Themenblöcke innerhalb von jeweils nur 1 Artikel abarbeiten können. Aber dann hätte ich den Artikel auf Grund von krasser Überlänge (vgl. vor 3 Wochen) kürzen müssen, womit endlos viel Inhalt herausgefallen wäre und niemand den Sinn oder die Erklärungen aus dem Artikel verstanden hätte

  (--> Also "nein")

  
  

• Auf der anderen Seite wird ohnehin jeder Artikel, den ich hier schreibe, von manchen Leuten aus Prinzip runtergeredet. Wieso soll ich mir dann die Mühe machen, immer wieder aufs Neue nach nem Thema zu suchen, das eventuell jedem gefällt? Ich weiß ja nicht, wie die Strategiekolumnisten das immer machen, dass sie jede Woche stets aufs Neue gelobt werden und niemals jemand auch nur ein Wort gegen sie erheben würde... beziehungsweise nur an den Gedanken des Gedankens, dies zu tun, denken würde.

Doch für heute wieder genug gewhined. Kommen wir nun zur Sache - zumindest diejenigen, die tatsächlich in die Verknüpfung unseres Sammelkartenspieles mit der Mathematik interessiert sind! Bevor wir jedoch die ersten *tatsächlichen* Verbindungen zum Kartenspiel knüpfen können, muss ich zunächst für die Nicht-Mathematiker unter euch eine weitere Definition einführen.

Folgendes Szenario:

Fünf Kiddies (A, B, C, D, E) veranstalten an ihrem Lieblings-Fluss ein illegales Badeenten-Wettrennen um Geld (sie wurden auf einem Event bestohlen und müssen das Geld nun wieder irgendwie reinholen). Der zusammengekommene Preispool wird nach dem Rennen unter denjenigen zweien aufgeteilt, deren Quietsche-Entchen als erstes ins Ziel geschwommen sind.

Die Szene der Kiddies ist groß, daher gibt es da auch meist viele Zuschauer - denn auch als Zuschauer kann man bei den berühmten Rennen ordentlich plus machen: Indem man Wetten abschließt. Hierzu muss man im Wettbüro auf einem Zettel, auf welchem alle fünf Teilnehmer aufgeführt sind, 2 Kinder ankreuzen, von denen man glaubt, dass sie gewinnen werden. Sind diese 2 Kinder später tatsächlich diejenigen, die gewinnen, so gewinnt man den doppelten Einsatz.

Wir stellen uns die Frage: "Wie viele Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, 2 aus 5 Kindern auszuwählen?".

Die Erklärung ist relativ einfach; man kann hier wieder das System mit den Feldern verwenden, wie wir es bereits von der Fakultät her kennen:

Wir haben also für das erste Feld 5 Möglichkeiten, ein Kind zu setzen - und beim zweiten Feld sind stehen nur noch 4 Kinder zur Auswahl. Somit ergibt sich, dass wir 5 * 4 = 20 Möglichkeiten der Verteilung von 2 aus 5 Kindern haben: AB, AC, AD, AE, BA, BC, BD, BE, CA, CB, CD, CE, DA, DB, DC, DE, EA, EB, EC und ED.

Da allerdings bei der Wette die Reihenfolge der Kinder keine Rolle spielt, sondern man ja lediglich die richtigen 2 erwischen muss, ist es vollkommen egal, ob nun As Ente zuerst ins Ziel kommt ("AB") oder Bs Ente ("BA"). Die Möglichkeiten zum Umstellen der Kinder bzw. Buchstaben entsprechen hier der 2-Fakultät, wie wir aus dem Roid-Beispiel gelernt haben!

Um also die Anzahl der tatsächlichen Möglichkeiten zu erhalten, muss man in diesem Fall unsere 5 * 4 = 20 Möglichkeiten noch durch die Anzahl der "Vertausch-Möglichkeiten" 2! = 1 * 2 = 2 teilen. Die Anzahl der tatsächlichen Möglichkeiten, "2-Teilmengen" aus den 5 Teilnehmern zu bilden, beträgt somit:

.

Damit hier nicht von Fall zu Fall überlegt werden muss, wie viele Möglichkeiten es nun zur Verteilung auf die Felder gibt, hat man sich eine mathematische Formel hergeleitet, die diverse Rechenschritte erspart:

Dieser Term ist stellenweise unglaublich wichtig, und daher entschied man sich, eine Kurzform dieses Termes zu definieren:

Der Term wird auch "k aus n" (oder: "n über k") gelesen und definiert die Anzahl aller Teilmengen der Größe k, die man aus einer Gesamtmenge der Größe n bilden kann.

Auf vielen Schul-Taschenrechnern gibt es eine Funktionstaste, die euch den Wert automatisch errechnet (Man tippt ein: n ; "nCr" ; k). Alle anderen müssen wohl oder übel auf handschriftlichem Weg durch das Herauskürzen der Fakultäten arbeiten, um sich den Wert zu errechnen.

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]1.) Wieviele 6-Teilmengen aus einem 40-Karten-Deck gebildet werden?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]2.763.633.600[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]3.838.380[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]240[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]2.) Wieviele 6-Teilmengen aus 49 Kugeln beim Lotto gebildet werden?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]10.068.347.520[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]13.983.816[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]294[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

Nachdem ich euch nun das wichtige Thema der "Teilmengen" erklärt habe, das hoffentlich auch jeder soweit verstanden hat (wer den Sinn dahinter nicht versteht, soll wenigstens mit der Formel was anfangen können, um später dann stupide Zahlen einzusetzen), kommen wir nun zu einem damit aufs Engste verknüpften Thema.

Stelle dir hierzu einfach vor, vor dir stünde eine Losbox mit 3 "Gewinnen" und 37 "Nieten". Du willst 5 Lose auf einmal aus der Losbox herausziehen und nun willst du wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, mindestens einen der drei Gewinne zu treffen.

Das Ziehen von Losen aus der Losbox könnte man mit dem Bilden einer Teilmenge vergleichen. Denn wie man aus einer Losbox Lose rausnimmt, nimmt man bei einer Menge Teile heraus. Wir betrachten zunächst die Anzahl der insgesamt möglichen Teilmengen - hierbei wird nicht auf Merkmale der Lose (Gewinn/Niete) geachtet. Denn wir wollen nur wissen, auf wie viele verschiedene Arten wir 5 aus den 40 Losen ziehen können!

Bedeutet, beim Ziehen von "5 aus 40" Losen beträgt die Summe aller Möglichkeiten, verschiedene Teilmengen zu bilden - wie der Name schon sagt - = 658.008. ^[1]

Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, um mindestens 1 der Gewinne zu ziehen, müssen wir drei Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und zusammenzählen - denn ich kann ja theoretisch 1, 2 oder gleich alle 3 Gewinne aus der Box ziehen. Wir beginnen daher bei der Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass wir 1 Gewinn aus der Box ziehen:

Wenn unsere fünf gezogenen Lose aus 1 Gewinn und somit logischerweise 4 Nieten bestehen, so müssen wir eine 1er-Teilmenge aus den 3 Gewinnen gebildet haben sowie eine 4er-Teilmenge aus den 37 Nieten. Denn in diesem Fall hätten wir schließlich "1 aus 3" Gewinnen und "4 aus 37" Nieten herausgezogen.

Grundsätzlich werden Kombinationen wie hier - also beispielsweise "1 Gewinn, 4 Nieten" miteinander multipliziert, so dass wir für die Anzahl der Möglichkeiten, genau 1 Gewinn und genau 4 Nieten zu ziehen, folgendes Ergebnis erhalten:

= 198.135

Und analog ergeben sich für "2 Gewinne, 3 Nieten" und "3 Gewinne, 2 Nieten" die Ergebnisse

Nun teilen wir jeweils die Anzahl der Möglichkeiten durch die anfangs errechneten 658.008 Gesamtmöglichkeiten, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten auszurechnen:

Hiermit ergibt sich, dass wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 30,1 % genau 1 der 3 Gewinne auf der Hand halten; nur noch 3,5 % hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, 2 der 3 Gewinne auf der Hand zu halten; und alle 3 Gewinne hat man statistisch gesehen nur einmal bei 1000 Losboxen, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 %. Addiert man die drei Ergebnisse, so erhält man die Wahrscheinlichkeit, mit welcher man mindestens einen der drei Gewinne auf seiner Starthand hält!

Mitdenker haben sicherlich schon gemerkt, dass die Zahlen 3 und 40 nicht willkürlich gewählt wurden. Nein, es handelt sich hier nun tatsächlich um das erste tatsächliche Beispiel, das man auf unser Kartenspiel beziehen kann. Denn beim Deckbau wird häufig überlegt, ob man z.B. eine Kombo-Karte, die man nur 1mal auf der Hand braucht, eher 2- oder 3-mal im Deck spielen soll. Mit der folgenden mathematischen Formel kann man sich nahezu alles, was diese Fragen anbelangt, aus beliebigen Zahlen errechnen.

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]3.a) Du spielst 3x Hydrogeddon in einem 40-Karten-Deck. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, unter den ersten 6 (gleichzeitig) gezogenen Handkarten mindestens 2 davon zu haben? (Auf korrektes Runden achten!)[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 5,2 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]ca. 5,4 %[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 39,5 %[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]3.b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nur 1 Hydrogeddon zu ziehen?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 20,9 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 29,4 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]ca. 34,1 %[/umfrage_richtige_antwort][/umfrage_frage]

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]4.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto "6 aus 49", 6 Richtige zu erreichen?[/umfrage_frage_text]

[umfrage_richtige_antwort]ca. 0,000007151 %[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 0,000000649 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 0,000000166 %[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

Ein Thema, das im Mathematik-Unterricht noch völlig trocken und theoretisch erklärt wird, bevor man überhaupt zu solch komplizierteren Losbox-Geschichten kommt, sind die so genannten "Ereignisse". Ein Ereignis ist durch ganz normale Wörter festgelegt und kommt auch versteckt in jeder Fragestellung vor.

Ereignisse können zum Beispiel sein:

• "1 Hydrogeddon gezogen",
• "2 Hydrogeddons gezogen",
• "3 Hydrogeddons gezogen",

Ereignisse können aber auch Zusammenfassungen verschiedener Ereignisse sein, zum Beispiel:

• "mindestens 1 Hydrogeddon gezogen",
• "höchstens 2 Hydrogeddons gezogen",

Ereignisse definieren also, wozu die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gehören, die wir errechnet haben, und sorgen dafür, dass wir bei solch vielen Zahlen einfach nicht durcheinander kommen - aber vor allem sorgen sie dafür, dass wir uns die Bedeutung der Zahlen bildlich vorstellen können.

Doch von noch größerer Bedeutung sind im Grunde Gegenereignisse. Wie der Name schon sagt, beinhaltet ein Gegenereignis exakt alle Ereignisse, die das dazugehörige Ereignis nicht beinhaltet - und umgekehrt. Wie bereits erwähnt klingt das ganze sehr trocken und theoretisch - doch hier ein paar Beispielfragen:

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]5.) Nenne ein Gegenereignis zu "Maximal 4 der gezogenen 6 Karten waren Monsterkarten"![/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]"Bis zu 2 Karten waren keine Monsterkarten"[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]"Bis zu 3 Karten waren keine Monsterkarten"[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]"Mindestens 2 Karten waren keine Monsterkarten"[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]"Mindestens 3 Karten waren keine Monsterkarten"[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

Gegenereignisse zu bilden ist insofern sinnvoll, wenn man große Mengen an Wahrscheinlichkeiten zu berechnen hätte. Möchte man sich zum Beispiel errechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man unter den ersten 10 Karten mindestens 1 Monster zieht, so müsste man die Wahrscheinlichkeit für "1 aus 10", "2 aus 10", "3 aus 10", ... , "9 aus 10" und "10 aus 10" ausrechnen und zusammenzählen.

Jedoch nutzen wir das Wissen aus, dass alle Ereignisse zusammengezählt die Wahrscheinlichkeit 1,00 = 100% besitzen. Wenn sich nun Gegenereignis und Ereignis zu 1,00 ergänzen, so können wir folgende Behauptung aufstellen: P (Ereignis E) + P (Gegenereignis E') = 1.

("P ( )" heißt jeweils "Wahrscheinlichkeit von ( )")

Umgestellt lautet die Formel im Grunde dann P (E) = 1 - P (E'), und somit würde es genügen, lediglich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses "Weniger als 1 Monster wurden gezogen (also 0)" zu errechnen - und diesen Wert dann eben von 1 zu subtrahieren.

[umfrage_frage][umfrage_frage_text]6.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, von 3 Stück keinen einzigen Hydrogeddon zu ziehen? Benutze zum Errechnen die Ergebnisse aus Aufgabe 3![/umfrage_frage_text]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 34,1 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 39,5 %[/umfrage_falsche_antwort]

[umfrage_richtige_antwort]ca. 60,5 %[/umfrage_richtige_antwort]

[umfrage_falsche_antwort]ca. 65,9 %[/umfrage_falsche_antwort][/umfrage_frage]

In diesem Sinne war es das für diese Woche - nächste Woche geht's natürlich weiter; aber dann mit richtigen Anwendungsbeispielen! Seid gespannt und schaut auch nächsten Mittwoch wieder rein.

[umfrage_auswertung_link]Auswerten![/umfrage_auswertung_link]

[umfrage_auswertung_text]

Urlaub ist ne coole Sache, das weiß jeder von euch. Nächste Woche starten endlich auch hier in Franken die Sommerferien. Und um den Chill-Effekt noch zu erhöhen, so habe ich kurzfristig entschlossen, für die nächsten 2 Wochen nicht mehr meinen Aufgaben als Administrator nachzugehen - sondern während dieser Zeit lediglich als Regelfragenmoderator zu fungieren.

Dies hat zudem noch den optimalen Vorteil, dass ich regeltechnisch auf die anstehende YGO-Weltmeisterschaft bestens vorbereitet sein werde!

Jo, die meisten haben es wohl schon hinter sich - doch ich habe es nun direkt vor mir: Die Eignungsüberprüfung zum Wehrdienst; kurz: Musterung. Ich komme mit dem Gedanken, an der Grundausbildung teilzunehmen, irgendwie nicht so wirklich klar. Allerdings stellt auch Zivildienst keine Alternative für mich dar - 9 schlecht bezahlte Monate unter schlechten Arbeitsbedingungen zu leiden war nämlich auch noch nie so mein Ding. Zumindest seitdem ich vor zwei Jahren in einem Altenpflegeheim 5 halbe Tage (insgesamt 30 Stunden) aushalf und mir schon das mehr als genug war.

Aber 9 Monate...? Oder eine Ausbildung als Chemie-Laborant starten? Oder gar ein Studium als Chemie-Ingenieur? Aber eigentlich wäre ein Leerjahr recht cool gewesen... also doch Grundausbildung, 3 Monate lang...? Aber was geschieht dann mit meiner Frisur? Fragen über Fragen, und ich weiß keine Antwort. XD

Wer sich dazu äußern möchte, kann dies ja via PN oder gar Diskussionsthread tun. Ich wäre recht erfreut.

Greets,

Harti

^[1]: Man kürzt das Produkt von 1-35 aus der 40-Fakultät mit dem Produkt von 1-35 der 35-Fakultät. Übrig bleiben im Zähler also 36-40 und im Nenner lediglich noch die 5-Fakultät aus der Formel.

^[2]: Definition: 0! = 1