Der Hausaufgaben Thread

    Gegeben sei die Funktion f: R->R², t->((t+1)²,t²)


    (a) Zeigen sie, dass f injektiv ist.
    (b) Begründen Sie, warum eine Funktion g: R²->R existiert mit g kringel f = identität auf R.
    (c) Zeigen Sie, dass eine solche Funktion g surjektiv sein muss.
    (d) Finden sie ein solches g.



    Steh momentan irgendwie auf dem Schlauch. (a) krieg ich vielleicht noch hin, der Rest...

    Gerade mit einem technischen/mathematischen Studium angefangen? :)
    Hast du keine Lösungsansätze? Was hast du bisher gemacht? Dein Satz "a krieg ich vielleicht noch hin, ..." lässt darauf schliessen, dass du noch gar nichts gemacht hast und einfach beim Anblick der Aufgabe gedacht hast "omg das krieg' ich nicht hin". Lies dir die Definitionen der Begriffe (injektiv, surjektiv) durch und versuch' wenigstens, etwas zu machen. Dann helf' ich gerne (und AT-Colt bestimmt auch :P).


    MfG

    Hi,
    hab mal eine ganz einfache Frage, die mir eigentlich schon peinlich ist:


    Im Kosinussatz heißt es ja:


    c² = a² + b² - 2ab x cos.(Gamma).


    Haben eine Aufgabe:


    c² = 2,1² + 1,4² - 2ab x cos.(Gamma).


    Habe eine Frage zu dem ab:


    Heißt doch dann 2xa + 2xb oder?


    Wenn das so wäre wäre es ja so:


    4,4 + 1,9 - 7 x cos.(Gamma)


    = -0,7 x cos.(Gamma)


    Aber das - stört, weil das ja theoretisch nicht sein kann, weil man in der Aufgabe eine Strecke von einem Turm zum See ausrechnen muss.


    Die Hauptfrage ist, ob meine Annahme "2ab = 2xa + 2xb" richtig ist.


    Hab da wohl in der 7. nicht aufgepasst. :drop:


    Danke für Hilfe.


    lG


    /e:


    Noch eine Frage:


    Wenn ich cos.(110°) habe, kommt dort (glaube ich) -0,34 raus.


    Wie wird das dann angegeben, weil das - da ja meines Wissens nach nicht stehen kann?

    Zitat von Huy227

    Gerade mit einem technischen/mathematischen Studium angefangen? :)
    Hast du keine Lösungsansätze? Was hast du bisher gemacht? Dein Satz "a krieg ich vielleicht noch hin, ..." lässt darauf schliessen, dass du noch gar nichts gemacht hast und einfach beim Anblick der Aufgabe gedacht hast "omg das krieg' ich nicht hin". Lies dir die Definitionen der Begriffe (injektiv, surjektiv) durch und versuch' wenigstens, etwas zu machen. Dann helf' ich gerne (und AT-Colt bestimmt auch :P).


    MfG


    Naja, fast richtig geschlossen. Richtig wäre gewesen, dass unsere Mathe-Fertigkeiten zu Beginn des Studiums noch so erbärmlich sind, dass ich mir meine Lösungsansätze mal gekonnt verkniffen habe. :S
    Also nicht lachen..^^
    Zu (a):
    Ansatz für Injektivität: f(x)=f(x') => x=x'
    <=> ((x+1)²,x²)=((x'1)²,x'²)
    Ich habe dann mal angenommen, dass man einfach die Komponenten betrachten kann, bei denen man in beiden fällen schnell x=x' zeigen kann.


    zu (b):
    Ich weiß, dass g kringel f eine Teilbedingung für die Umkehrabbildung ist. Bei der muss Bijektivität für das Urbild gelten. Es ist also annehmbar, dass wenn nur eine Bedingung gilt g surjektiv sein muss.
    Ich habe nur keinen Ansatz, wie ich das beweisen soll, nicht zuletzt auch, weil uns die Surjektivität noch ein bisschen Probleme bereitet.


    Ich werde nochmal in meinen Aufzeichnungn stöbern, ich glaube der Prof hat irgendwann die Surjektivität nochmal praktischer definiert, es aber leider nicht aufgeschrieben. :/
    Wäre für Ansätze dankbar, bitte nicht die ganze Lösung.

    Hi, wenn Du den "wie man in beiden Fällen recht schnell zeigen kann"-Teil mal hingeschrieben hättest, würdest Du sehen, dass man die Komponenten nicht getrennt voneinander betrachten kann, denn:
    Sei f(t) = (c,d), Komponentenweise hieße das dann:
    c = (t+1)^2, oder t = +- wurzel(c) - 1, sowie t = +- wurzel(d), was jeweils zwei Lösungen pro Komponente sind.
    Der Trick ist ja gerade, dass dadurch, dass die Komponenten mit d^2 +2t+1 = c^2 zusammenhängen, diese Mehrdeutigkeit aufgehoben wird.


    Zur Veranschaulichung stell Dir beide Komponenten als Parabeln in einem Graphen vor. Die sind dann um 1 gegeneinander verschoben. Zwar ist es richtig, dass es für jeden Wert einer der Parabeln zwei mögliche t gibt, aber die andere Parabel hat wegen dieser Verschiebung an diesen t-Werten unterschiedliche Werte.



    Injektivität: Jeder f(x)-Wert hat einen genau ein Urbild x.
    Surjektivität: Für alle Punkte y im Bildbereich gibt es mindestens ein x, sodass f(x) = y. Der gesamte Bildbereich wird also angenommen, wenn Du all möglichen Urbilder in f einsetzt.


    greetz


    AT-Colt

    Ja, denn jeder f(x)-Wert muss nicht jeder Wert im Bildbereich sein.


    z.B. ist die Funktion f: R -> R, x -> x^2 nicht bijektiv, denn sie nimmt keine nichtnegativen Werte an. (Und zusätzlich ist sie nicht injektiv.)
    Die Funktion f: R -> R_{+}, x -> x^2 ist dagegen surjektiv, denn der Bildbereich wird von allen möglichen f(x) abgedeckt. Bijektiv ist sie aber trotzdem nicht, da sie nicht injektiv ist. (f(x) hat -x und x als Lösung)
    Wenn man aber f: R_{+} -> R_{+}, x -> x^2 wählt, ist die Funktion bijektiv.


    greetz


    AT-Colt

    Ich bin mir bezüglich dessen nicht ganz so sicher, weil wir noch andere Definitionen von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität gennannt bekommen haben.
    Deine Erläuterung ist natürlich richtig.
    Unsere alternativen Definitionen:
    Die Funktion heißt injektiv/surjektiv/bijektiv, wenn die Gleichung f(x)=a für beliebige a höchstens eine/mindestens eine/genau eine Lösung besitzt.


    bijektivität ist logisch: Immer genau ein Urbild und es ist für alle a, d.h. für den ganzen Wertebereich erfüllt.
    Surjektivität würde aus diesem Grund auch gezeigt werden.


    Bei Injektivität ist es halt die Frage. Beispiel: Ist die Funktion 1/x injektiv? Für a=0 hätte sie keine Lösung. 1/x wäre also bei dieser Definition im Wertebereich ganz R injektiv.
    Ok, ich merke gerade, dass das bei deiner Definition auf das selbe rausläuft. Schätze mal die beiden Definitionen sind dann logisch äquivalent?

    Ich hab in Algebra folgende Aufgabe:
    Der Ein Polynom vom Grad n ist eine Abbildung t-> an*t^n + an-1*t^(n-1) + ... + a0 mit an!=0 und ai € R für alle i=1,...,n.
    Das Nullpolynom ist die Abbildung, die jedem t € R den Wert Null zuordnet.
    Zeigen sie, dass diese Menge einen Vektorraum bildet. Welche Dimension hat dieser Raum? Was ist eine Basis dieses Raumes? Welche Dimension hat der Raum aller Polynome? (Ohne Beschränkung an den Grad). Geben sie auch eine Basis des Raumes aller Polynome an.
    So und mein Problem ist jetzt, dass ich mich Frage, was das neutrale Element der Vektoraddition ist. Weil a0 kann ja so nicht null werden und damit gibt es kein Element, was nicht das a0 des Polynoms verändern würde.


    Weiß das jemand oder hat jemand eine Idee? Huy vielleicht, oder AT-Colt? :P

    Kannst du nicht versuchen, so was zu "teXen"? Zumindest in einer "light"-Variante mit z.B. http://www.mathurl.com
    Dann könnte man das deutlicher leichter lesen....


    Das neutrale Element der Vektoraddition ist das Nullpolynom; dort ist es ja gerade so, dass die (http://mathurl.com/2em2g9s.png) sind. (Hier wird der Text so blöd angezeigt wegen des baluen Hintergrundes, vermute ich, daher habe ich es noch mal verlinkt.)
    Hier steht das auch noch mal: http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom


    / Huy: Ah, so wie bei mir. Ich bin auch nicht gerade ein "Pro" in Linearer Algebra und bin froh, das hinter mir zu haben.... aber das kommt im Studium ja alles später wieder vor, bei mir gerade in Numerik^^

    Um das gleich mal klar zu stellen: Algebra ist nicht meine Stärke. Tatsächlich würde ich mich in (linearer) Algebra eher als schwach einstufen. Aber wayne. Zu deiner Frage: Das neutrale Element der Vektoraddition ist halt eine Spaltenmatrix, die nur Nulleinträge beinhaltet. Das Nullpolynom müsste hier doch das neutrale Element der Addition sein? (und ausserdem darf doch nur a_n nicht 0 sein, alle anderen a_i müssen lediglich in R sein...)


    Ich hoffe, das konnte dir irgendwie helfen. Ansonsten schau' ich später nochmal rein, aber wie schon gesagt: Lineare Algebra mag ich nicht so. ^^


    MfG


    //e: Das kommt davon, wenn man nebenbei Analysis macht und Fluch der Karibik schaut. :D