Statistik in Yu-Gi-Oh!

Wie wahrscheinlich einige mitbekommen haben, musste ich vor etwa zwei Wochen den Artikel ausfallen lassen, da die Uni und die deutsche Meisterschaft in Kombination nicht erlaubt hatten, dass ich mich an was ordentliches setzen konnte. Und ein ähnliches Spektakel habe ich auch aktuell, da die Prüfungen nahen und sie genau zwischen die Europameisterschaft gefallen sind. Da ich euch aber in diesem Monat nicht komplett auf den trockenen sitzen lassen wollte, habe ich mir etwas ausgedacht, um alle Seiten etwas profitieren zu lassen. Da ich nämlich unter anderem Statistik als Prüfungsfach habe, und sich viele Beispiele im modernen YGO finden lassen, wo man mithilfe von Wahrscheinlichkeitsrechnungen interessante Resultate bekommt, habe ich mir heute vorgenommen, mein angelerntes Wissen hier auf Yugioh-Beispiele anzuwenden, um dieses nicht nur zu wiederholen und zu üben(mein Vorteil für die Uni), euch einen Artikel zu bieten(euer Vorteil) und mich zugleich mit diesen Daten beim Deckbau für die EM zu unterstützen(mein Vorteil zur EM-Vorbereitung).

Und auch wenn es ein wenig abschreckend wirkt, da es sich ja schließlich um "Mathe" handelt, hoffe ich doch zumindest dass ihr mir den ganzen Artikel treu bleibt und ihn gespannt verfolgt. Schließlich soll er euch helfen, gewissen (Deckbau-)Entscheidungen auf eine fundierte, logische Basis treffen zu können, und nicht nur durch stundenlanges ausprobieren durchzuführen, dass trotzallem keine wirkliche Diskussionsbasis bietet.

Grundlagen für YGO-Statistik

Bevor ich aber loslegen kann, müssen wir ein paar grundsätzliche Basics aufbauen. Wer diese schon hat kann diesen Part getrost überspringen^[1].

Zuerst einmal stelle ich euch die Formel vor, die wir schlussendlich benötigen werden. Es handelt sich um die Formel für die Hypergeometrische Verteilung:

Schaut ziemlich verwirrend aus, nicht? Und wie soll man das jetzt rechnen, fragst du dich bestimmt. Dafür muss ich kurz mal etwas weiter ausholen:

Zuerst benötigen wir die so genannte "Fakultät", da wir mit ihr Platzierungen simulieren können. Dies ist die Multiplikation aller Zahlen die zwischen n und 1 liegen, im Abstand von 1. Man erkennt sie an dem "!" welches direkt auf die Zahl folgt, die das Maximum angibt. Hier ein paar Beispiele:

Das schaut noch relativ leicht aus. Nur wozu benötigen wir sowas? Mit der Fakultät lassen sich sehr gut alle Kombinationen aufzählen, in denen man beispielsweise Karten legen kann. Stellen wir uns einfach vor die 4! stellt unsere Hand dar(sprich wir haben 4 Karten auf der Hand. In diesem Beispiel Grosalamander Falko, Grosalamander Fuchsi, Grosalamander Gürteltier und Grosalamander-Kreis). Nun aktiviert der Gegner einen Effekt um uns zufällig Handkarten zu klauen. In diesem Fall sagen wir einfach Chaosdrache Levianier nutzt seinen 2. Effekt. Hier hat er die Möglichkeit eine von den 4 Karten zu treffen.

Anschließend nutzt er den Effekt von Moulinglacia der Elementarherrscher und versucht dir zwei weitere Karten zufällig abzunehmen. Dabei gibt es beim ersten Abwurf nur noch 3 mögliche Szenarien, und beim zweiten nur noch 2 Möglichkeiten.

Diese Möglichkeiten könnte man sortiert aufreihen:

1. Abwurf: Karte X = 4 Möglichkeiten

2. Abwurf: Karte Y = 3 Möglichkeiten {z.b. falls Falko als Karte X getroffen wurde gehen nur noch Fuchsi, Gürteltier oder Kreis}

3. Abwurf: Karte Z = 2 Möglichkeiten

Da unsere einzelnen Karten aber unterscheidbar sind, und es uns womöglich interessieren könnte, in welcher Reihenfolge sie zum Friedhof gesendet werden, beispielsweise weil Falko den möglicherweise abgeworfenen Kreis recyclen kann, gibt es verschiedene Kombinationen diese korrekt abzuwerfen. Um die Anzahl aller Kombinationen zu bestimmen kann man dann die Fakultät verwenden, zumindest in diesem Fall. Denn wenn wir uns das Beispiel anschauen haben wir 4*3*2*1 Möglichkeiten. Da aber die 1 nichts ändert, kann man diese auch weglassen, und wir haben nur 4*3*2, was unserem Beispiel entspricht. Das Ergebnis ist also dass es 24 Kombinationen gibt, die Karten in die Slots X, Y un Z zu füllen.

Doch führen wir das gleiche Beispiel nochmal mit 6 Handkarten aus. So haben wir vor dem Experiment 6 Handkarten, und nach dem Experiment nur noch 3 Handkarten. Wie könnte ich das Mittels Fakultät lösen. Hier ein kleiner Trick: wir erweitern clever und bekommen dadurch eine neue "Formel":

Jetzt erweitern wir das Beispiel mal. Diesmal aber umgekehrt: wir verringern nicht unsere Hand, sondern unser Deck, wir ziehen uns also unsere Starthand. Bei einem 40-Karten-Deck und 5 Kartenstarthand sähe dass dann wie folgt aus. Beachtet bitte, dass die 5! die unter dem Bruchstrich steht, diesmal dafür da ist die Reihenfolge "zu löschen". Uns interessiert es ja nicht ob wir Karte X an der 1. oder beispielsweise an der 5. Stelle steht. Wir wollen ja nur wissen, ob wir sie überhaupt ziehen:

Wer etwas aufgepasst hat, wird merken dass ich mit dem N über n (die ausgesprochene Form von dem was wir am Ende herausbekommen haben) den unteren Teil unserer "Hypergeometrischen Formel" darstellt. Doch mit dem Wissen solltet ihr jetzt soweit in der Lage sein, die folgenden Schritte mitrechnen zu können. ^[3]

Kommen wir also zurück zur Formel:

Wie vielleicht auffällt, berechnen wir hier eine Wahrscheinlichkeit, und zwar eine ganz spezielle. Denn das P(X = k) steht dafür, dass hier die Wahrscheinlichkeit P berechnet wird, wobei unser Versuch X genau einen Fall beschreibt. Dieser wäre bei k = 1 Himmelsjäger-Ass Raye eben GENAU 1 Raye, und nicht 1 oder mehr Raye's. Wenn wir jetzt aber beispielsweise berechnen wollen, wie Wahrscheinlich 1 bis 2 Raye's gezogen werden, muss man einfach nur die entsprechende Wahrscheinlichkeit für GENAU 2 Raye's berechnen und mit dem Ergebnis für GENAU 1 Raye addieren:

Würden wir noch die Fälle für GENAU 0 Raye, GENAU 3 Raye, GENAU 4 Raye und GENAU 5 Raye hinzuaddieren würden wir wieder genau auf 100% = 1 kommen(wir hätten damit alle Szenarien die bei 5 Handkarten möglich wären). Deshalb kann man auch einfach 1-P(1 bis 2) rechnen, um die Gegenwahrscheinlichkeit( also GENAU 0 Raye oder 3-5 Raye) zu bekommen. Das macht dann besonders viel Sinn, wenn man schnell berechnen möchte, wie Wahrscheinlich 3-5 Rayes sind, da man so die schon berechneten Ergebnisse nehmen kann, und dort einfach nur "GENAU 0" Raye abziehen muss.

Damit haben wir wohl erstmal die wichtigsten Werkzeuge durchgesprochen, die euch helfen sollten, meine folgenden Gedanken zumindest nachvollziehen zu können.

Lohnt es sich zu siden?

Diese Frage habt ihr euch bestimmt auch schon gestellt gehabt, wenn ihr beispielsweise in einem Tier 0 Format 10+ Karten gesidet habt, und davon nicht eine einzige Karte gesehen habt. Doch wenn wir uns statistisch die Matches anschauen, wird man schnell merken, dass die meistgespielten Spiele die sind, wo man auf ein Side Deck zugreifen kann. Denn es gibt genau 4 Szenarien die nach dem ersten und zweiten Spiel entstehen können:

Option 1: Wir haben beide Spiele gewonnen => eines von zwei Spielen wurde gesidet: 50%

Option 2: Wir haben beide Spiele verloren => eines von zwei Spielen wurde gesidet: 50%

Option 3: Wir haben das erste gewonnen und das zweite verloren => zwei von drei Spielen wurde gesidet: 66%

Option 4: Wir haben das erste verloren und das zweite gewonnen => zwei von drei Spielen wurde gesidet: 66%

Wenn man sich das anschaut wird man merken dass die Anzahl Spiele die man das Side benutzt hat zwischen 50% und 66% schwanken dürfte. Deshalb ist das Side Deck auch so wichtig, da man sich hier speziellere Karten spielen kann, die einem nicht gegen jedes Deck hilfreich erscheinen mag.

Stellen wir uns also vor wir spielen ein Deck was sehr leicht gegen Ausgeglichener Zweikampf verlieren würde. Daher berechnen wir uns erstmal die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegner damit starten wird. Um es einfacher zu haben berechne ich hier die Wahrscheinlichkeit, dass mein Gegner ohne der Karte startet und berechne wieder das Gegenereignis:

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit das der Gegner bei 6 Handkarten mit 1 oder mehr Ausgeglichener Zweikampf startet schon bei saftigen 49,43%, also nicht überragend viel, aber zugleich auch nicht gerade wenig. Das würde halt bedeuten(davon ausgehend dass sonst keine Einflüsse existieren, in dem Fall also dass wir immer starten), wenn wir davon ausgehen alle unsere Gegner würden das gegen uns Siden, dass wir im Falle von Option 1 oder 2 etwa 25% aller Spiele (jedes 4. Spiel, mit oder ohne Side) automatisch verlieren, während wir bei Option 3 und 4 etwa 33% aller Spiele(jedes 3. Spiel, mit oder ohne Side) automatisch verlieren würden, was schon ärgerlich ist. Daraus schlussfolgernd würde es gegebenenfalls Sinn machen, eine Karte zu siden, damit man nicht automatisch verliert, was in diesem Falle einfach Artefakt Longinuslanze wäre. wir gehen jetzt auch erstmal davon aus, dass wir sie nur für diesen Zweck siden, und er sonst keine Funktion erfüllt. Da wir selber aber mit 5 Handkarten, und nicht 6 starten, muss ich auch die Eingabewerte etwas anpassen:

Hm. Bei 33% würde das bedeuten wir hätten sie in Fall 1 und 2 in jedem sechsten Spiel (mit und ohne Side) und im Fall 3 und 4 in jedem fünften Spiel (mit und ohne Side). Doch was uns ja eher interessiert: wie wahrscheinlich habe ich die Lanze, wenn mein Gegner die Ausgeglichener Zweikampf hat. Hierfür nutzen wir den Multiplikationssatz, welcher einfach nur behauptet das die Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse miteinander multipliziert die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ist, das beides eintrifft. Da das ziehen von Lanze keinen Einfluss darauf hat, ob der Gegner Ausgeglichener Zweikampf gezogen hat, sagt uns dass die beiden Ereignisse unabhängig sind:

16,68% entspricht etwa jedem sechsten Spiel(mit Side) wird uns Lanze vor Ausgeglichener Zweikampf beschützen. Dies bedeutet im Fall 1 und 2 dass sie nur in jedem zwölften Spiel einen retten kann und noch 5 von 12 Spielen(mit Side) automatisch verliert, während man im Fall 3 und 4 zumindest noch in jedem zehnten Spiel gerettet wird, dafür aber noch 4 von 10 Spielen(mit Side) verliert. Schauen wir mal, wenn wir die Anzahl der Lanzen verdoppeln, indem wir auch noch Artefakt Heiligtum ins Side Deck packen, ob wir damit die Statistik verbessern können. bedenkt dass wir an diesem Punkt 6 unserer 15 Slots im Side Deck "verschwenden":

28,52%, also etwa 25% und damit werden wir in jedem vierten Spiel mit Side von Lanze gerettet. Das ist natürlich schon viel viel besser, da man so im ersten und zweiten Fall nur noch 1 von 2 Spielen(mit Side) automatisch verliert, und im dritten und vierten Fall nur noch 1 von 5 Spielen(mit Side) sofort zusammenschieben können.

Zugleich verdoppeln sich aber auch die Anzahl Matches, wo man Lanze hat, sie aber nicht benötigt, mit an. Was bei einem Preis von 6 Side Deck Slots dann schon ziemlich happig ist. Insbesondere dann, wenn andere Faktoren(Ziehkarten, mehr als 60 Kartendeck, persönliche Präferenzen der Gegner, ...) mit einbezogen werden, sind sehr spezifische Sidedeckkarten weniger sinnvoll, als zu spezielle. Gerade im Falle von Ausgeglichener Zweikampf kann es sinnvoll sein, stattdessen den eigenen Spielstil auf einen weniger gierigen Stil anzupassen und mehr Karten auf der Hand zu behalten, als sein Side Deck zu sehr gegen die Karte auszurichten.

Ist Topf der Begierden wirklich so gefährlich?

Kommen wir jetzt aber zu einem Thema, was die Yugioh-Welt seit seinem erscheinen gespaltet hat. Die Rede ist hier von Topf der Begierden, welche die Spielerschaft in 2 Kategorien gespalten hat^[5]: die einen, die ihn gespielt haben weil sie den Kartenvorteil gesehen haben, und die nur den Verlust der Deckkarten gesehen haben. Deshalb möchte ich die Chance nutzen und einen statistischen Beweis finden, wie gefährlich diese Karte nun wirklich ist, und eine Formel zusammenbauen, mit der auch ihr für euer individuelles Deck berechnen könnt, wie sinnvoll beziehungsweise risikobehaftet dieser für euch ist.

Auch hier benötigen wieder die Formel für die hypergeometrische Verteilung:

Zudem müssen wir ein paar Bedingungen festlegen:

Hierbei entscheide ich mich dafür erstmal nur die Fälle zu betrachten, in der wir 2nd gegangen sind und in dem wir mit Topf zu 100% auf der Hand gestartet haben. Zudem spielen diesmal wir Ausgeglichener Zweikampf, welchen wir noch 3x im Deck haben, sprich nicht auf unserer 6-Karten-Starthand gezogen hatten, wir aber mindestens 1x ziehen müssen, um das Spiel drehen zu können. Dies ergibt schonmal folgende Basis:

N=34 Karten noch im Deck

M=3 Ausgeglichener Zweikampf im Deck

Nun müssen wir noch alle möglichen Fälle festhalten, die wir berechnen können. Dabei hat unser Experiment immer zwei Stufen:

Stufe 1: Wie häufig habe ich Karte X verbannt

Stufe 2: Wie häufig kann ich Karte X noch nachziehen.

Dies lässt folgende Fälle entstehen(ich betrachte jetzt nur die Fälle das wir Ausgeglichener Zweikampf mindestens 1x ziehen wollen):

Szenario 1: Wir haben 0 Kopien von Karte X verbannt und wollen mindestens 1 Kopie ziehen.

Szenario 2: Wir haben 1 Kopie von Karte X verbannt und wollen mindestens 1 Kopie ziehen.

Szenario 3: Wir haben 2 Kopien von Karte X verbannt und wollen 1 Kopie(die verbliebene) ziehen.

Szenario 4: Wir haben 3 Kopien von Karte X verbannt und können deshalb keine Kopie mehr ziehen

Zudem ist es relativ einfach zu berechnen, wie Wahrscheinlich wir Ausgeglichener Zweikampf 0 mal, einmal, ... mehr als einmal, mehr als zweimal, ... etc. verbannen, indem wir entsprechend X und k anpassen.

n=10 Karten aus dem Deck verbannen

Soweit so gut. Jetzt haben wir schonmal alle Fälle der ersten Stufe berechnet. Gucken wir uns mal an welche unserer Basis-Daten sich nun verändert haben:

N=24 Karten noch im Deck

M={0,1,2,3} Ausgeglichener Zweikampf im Deck

n=2 Karten ziehen

k=1 oder mehr Kopien aufziehen

Auch diese kann man atomar berechnen. Erneut verwende ich die Gegenwahrscheinlichkeit um mir schreibarbeit zu ersparen:

Und ja, gerade bei den letzten beiden Rechnungen hätte es mehr sinn gemacht direkt P(X=1) beziehungsweise P(X=0) zu berechnen, doch dazu gleich mehr.

Nun müssen wir die atomaren Berechnungen nur noch miteinander zu den entsprechenden Szenarien verbinden. Auch hier können wir wieder davon ausgehen, dass die beiden Stufen jeweils untereinander atomar sind, wenn wir die richtigen Paare bilden. So können wir beispielweise das Szenario 1 entstehen lassen, wenn wir "Wir haben 0 Ausgeglichener Zweikampf verbannt" mit der Wahrscheinlichkeit für "Wir wollen mindestens 1 Kopie aus 3 verbliebenen Ausgeglichener Zweikampf ziehen". Das sähe dann wie folgt aus:

Sehr schön. Jetzt haben wir viel ausgerechnet und sind trotzdem nicht vorangekommen. Doch wenn wir uns nun unsere Ergebnisse anschauen, dann können wir alle addieren und erhalten damit die Wahrscheinlichkeit durch unseren Topf der Begierden mindestens eine Kopie der Karte zu ziehen, die wir haben wollen:

Das bedeutet also wir haben, wenn wir mit 100% Wahrscheinlichkeit den Topf auf unserer 6-Karten-Starthand haben, eine Wahrscheinlichkeit von 17,1% Ausgegelichener Zweikampf nachzuziehen. Das wäre also etwa jedes fünfte Spiel. Bedenken wir noch das die Wahrscheinlichkeit mit Topf der Begierden bei einer 6-Karten Starthand zu starten, falls genau 3 Töpfe gespielt werden, bei 49,43% liegt(Siehe Einen Absatz vorher die Wahrscheinlichkeit für Ausgeglichener Zweikampf), so können wir berechnen, wie Wahrscheinlich es ist entweder Ausgeglichener Zweikampf zu ziehen, oder alternativ einen mit Topf der Begierden nachzuziehen:

Der Topf hat uns also eine Verbesserung von etwa 6,5% erbracht, was bedeutet dass wir unsere 3-Off-Schlüsselkarte in jedem 20. Spiel häufiger sehen. Das klingt jetzt nach nicht sehr viel, doch haben wir so nicht nur ein +1 erwirtschaftet, sondern zugleich jeden 20. Brick in eine spielbare Hand verbessert. Zudem ist die "Selbstzerstörungsrate" relativ gering, wenn man mal betrachtet, wie Wahrscheinlich es ist zwei oder 3 Kopien unserer Schlüsselkarte zu verbannen. Außerdem sollte man beachten dass dieses Experiment besonders interessant wird, wenn man eine Schlüssel-Karte nicht nur 3-Off spielt, sondern Karten besitzt die diese Karte suchen können beziehungsweise dessen Job zumindest teilweise übernehmen können.

Nehmen wir deshalb als letztes keine 3-Off-Ausgeglichener Zweikampf sondern stattdessen ein 6-Off welches in diesem Beispiel der einfachheit halber 3 Himmelsjäger-Ass - Raye oder 3 Himmelsjäger-Mobilisierung - Angriff! sind. Da das eben aber schon eine Menge rumrechnerrei war, nur um diese 17,1% herauszubekommen, nehme ich stattdessen eine Annäherung. Denn interessanterweise reicht es schon aus, die Formel für die Hypergeometrische Verteilung zu nehmen, und einfach zu berechnen, wie wahrscheinlich es ist, mit Topf der Gier die Schlüsselkarte zu ziehen. Solange wir uns nämlich nicht für die Wahrscheinlichkeiten interessieren, wie häufig wir die Schlüsselkarte X verbannen, kann man auch diese verwenden(das ist vergleichbar, als würde man die Karten zuerst ziehen und anschließend die Karten verbannen). Hier der Beweis:

Und deshalb berechne ich jetzt damit die Wahrscheinlichkeit unsere 6-Off zu ziehen:

Wie man also sieht wird die normale Wahrscheinlichkeit(71,19%) auf 89,11% angehoben, eine Steigerung um etwa 28%, was sich schon in jedem 4. Spiel äußert. Zugleich sinken auch die Wahrscheinlichkeiten, dass man alle beziehungsweise mehrfache Kopien dieser Karten verbannt(ich lass das jetzt einfach mal so stehen und rechne es nicht extra aus). Man sieht also, dass es sich lohnen kann, den Topf zu spielen, wenn man wenig Karten besitzt, die wichtig für das Deck sind und einzeln enthalten sind, und viele Karten besitzt die auch alleine etwas machen können. Deshalb wäre Himmelsjäger ein perfektes Beispieldeck, da sie ja viele Karten besitzen, die auch als vereinzelte Karten viel machen, würde es nicht so viele gute Karten im Deck geben, die man bloß in einfacher Ausführung spielen will.

Fazit: Jetzt raucht mir meine Birne

Ich hoffe ihr konntet mir alle Folgen, auch wenn ihr vermutlich nicht alle Sachen genauso ausgerechnet bekommen habt, wie ich. Ich selber bin jetzt zumindest auch sehr ausgelaugt, habe dafür aber einige Erkenntnisse gewinnen können, die ich euch hoffentlich genauso vermitteln konnte. Habt ihr noch andere Karten oder Szenarien die ihr genauso aufgeschlüsselt berechnen wollt? Oder habt ihr gar einen Fehler in meiner Rechnung gefunden(wäre auch nicht unmöglich)? Falls ja, dann meldet euch doch einfach im entsprechenden Diskussionsthread. Ich zumindest mach jetzt Schluss und gönne mir ein paar Kopfschmerztabletten...

^[1] Und ja, ich weiss dass wir dazu schon eine grandiose Artikelreihe in Form von Hartis "Stochastik"-Artikel bekommen haben. Ich persönlich habe diese damals(2010 oder 2011) selber gelesen gehabt und persönlich kann ich sie jedem nur ans Herz legen. Er geht gerade in Stochastik 1 und Stochastik 2 noch genauer auf die Herleitung "meiner Basics" ein, während Stochastik 3 und Stochastik 4 interessante Beispiele aufzeigt, die heute denke ich sogar von noch wichtigerer Natur sind, als früher. Wer sich also in dem Bereich nochmal verbessern will, dem empfehle ich auch diese Artikel zu lesen.

^[2] Ja, ich weiss, dass die Formel minimal anders aussieht, als im Beispiel von Hartis Stochastik 2-Artikel. Doch wer beide Formeln mal "auspackt" und umformt, wird schnell merken, dass sie im Grunde identisch sind, nur anders zusammengefasst.

^[3] Keine sorge. Auch wenn ihr vorhin nicht alles verstanden habt(habe ich vor 10 Jahren auch nicht, als ich Harti's Artikelreihe gelesen hatte), und es vermutlich nicht auf Anhieb mitrechnen könnt, es gibt allerlei Rechner im Internet die euch diese Aufgabe übernehmen. Insbesondere weil das "per Hand ausrechnen" dieser Formel die reinste Hölle ist. Somit bin nur ich gezwungen diese per Hand auszurechnen...

Jedenfalls ist ein guter Rechner dieser hier: yugioh.party.

^[4] Vielleicht ist irgendwem schon aufgefallen, dass die Wahrscheinlichkeit ziemlich mickrig erscheint. In der Realität müsste man an dieser Stelle natürlich noch weitere Faktoren einbeziehen, wie beispielsweise jede 2-Karten-Kombo über Himmelsjäger-Luftraum - Nullkoordinate oder jede Ziehkarte wie Emporkömmling Goblin, doch das hätte den Rahmen dieses Beispiels gesprengt gehabt.

^[5] Bei seinem erscheinen hat er die Community theoretisch sogar noch in zwei weitere Kategorien gespaltet: die Leute die ihn nicht spielen weil er zu teuer war, es aber nicht zugeben wollten, und Leute die ihn spielten wollten ihn sich aber nicht leisten konnten, dies aber auch offen kommuniziert haben. Und wenn ihr lange genug drüber nachdenkt findet ihr bestimmt noch weitere Gruppen.

^[6] An dieser Stelle nochmal danke an Lrandegger, welcher dies früher schon einmal im internen aufgezeigt hat.